Biometria

Variancia, szórás, t-próba, F-próba

'A' és 'B' populációból vett minták átlagai és szórásai különböznek-e?

s² = [åx² – (åx)²/n]/(n-1) = (351197.3 - 2645.9² /20) =  61.6

 =   = √61.6/20 = 1.8

A két minta átlaga eltér-e egymástól?

 = 25.2/2.109 = 11.9  nagyobb mint a melléklet t-táblázatban a legközelebbi szabadságfokhoz (40) tartozó P_5%   értéke, 2.02  - a két átlag szignifikánsan különbözik egymástól.

 A két minta szórása eltér-e egymástól?

F =     = 2.72 nagyobb mint  a melléklet F-táblázatában a legközelebbi FG_[20,20]  2.12 - a két szórás szignifikánsan különbözik egymástól.

Kovariancia, korreláció, regresszió

Ugyanazon a mintán mért két tulajdonság (X és Y) között van-e statisztikailag is igazolható összefüggés?

SQ = eltérésnégyzetösszeg = [åx² – (åx)²/n] ,     SQ_x = 122876 – 121104 = 1772

 SP = szorzatösszeg = åxy – (åx * åy)/n = 142304 – 141897 = 407

 Kovariancia = Cov_xy = SP/FG = 407/(16-1) = 27.1

Regressziós együttható =  b_xy = SP/SQ_x = 407/1772 = 0.23

 Regressziós együttható hibaszórása = s_b =  = 0.109

 b regressziós együttható megbizhatóan eltér-e 0-tól?

 b/s_b = 2.11 kisebb mint n-2=14 szabadságfokhoz tartozó táblázati kritikus t-érték - a két tulajdonság között nincs statisztikailag is igazolható összefüggés.

Korrelációs együttható =  = 0.48. A korrelációs együttható kritikus értékeit táblázatból (pld. Sváb) kaphatjuk meg.

Az átlag komponensei

1.) A búza kalászhossz öröklődésében milyen génhatás valószínűsíthető a szülők és F₁-ük átlagai alapján:

Mivel  felülmúlja a nagyobb értékű szülő átlagát is, a feltételezett génhatás típus az overdominancia. Hipotézisünk tesztelésére ellenőrizzük P₁  és F₁ nemzedékátlagok különbségének megbízhatóságát kétmintás t-próbával :

P = 0.05 valószínűségi-szinten,  2(n-1) =18 szabadság-fokhoz tartozó táblázati kritikus t-érték  2.1, ami nagyobb a számitott t-nél, így megállapíthatjuk, hogy a két átlag különbsége nem szignifikáns, azt a véletlen is okozhatta. Ebből következik, hogy az overdominancia sem nyert igazolást. Mivel  P₁  és F₁ átlaga hibahatáron belül megegyező, csak a teljes dominancia fogadható el.

2.) Határozzuk meg két virágzási időben különböző szülő (P₁  = 60 nap, P₂ = 80 nap) keresztezéséből származó F₂ növények fenotípusos értékeit, ha a virágzási időt a szülők különbségének intervallumában 5 gén (A,B,C,D,E) kontrollálja, és  d_a=d_b=d_c=d_d=d_e, továbbá -d_a=-d_b=-d_c=-d_d=-d_e=0, és h_a=h_b=h_c=h_d=h_e (lásd a táblázatot).

A két szülő között 20 nap virágzásbeli különbség van, amit 5 gén, azaz 10 allél szabályoz, így egy-egy fokozó hatású allél 2 nap tenyészidő növekedést eredményez (d_a=d_b=d_c=d_d=d_e=2). Azon növények, amelyek egyetlen fokozó hatású alléllel sem  rendelkeznek (10. számú növény), a  P₂ szülővel megegyező fenotípusúak (60 nap). Mivel a (-) allélek nem járulnak hozzá a fenotípushoz, minden (-/-) lókusz figyelmen kívül hagyható. Ha nincsenek heterozigóta lókuszok, minden (+/+) allélpár hatása tisztán érvényesül, 4-4 nappal hosszabbítja meg a tenyészidőt: például a 3.számú növény esetében 60+2*4=68, mindhárom oszlopban. A heterozigóta lókuszok dominancia eltéréseinek nagysága mindig a dominancia mértékétől függ. Ha nincs dominancia (h=0), a heterozigóta lókuszok a (+) allél értékével (2 nap) járulnak hozzá a fenotípusos értékhez, h=0.5d  részleges dominanciánál 1 nappal, míg h=1.5d overdomianciánál 3 nappal növelik a tenyészidő hosszat.

Példaként az 5.számú növény fenotípusos értékének kiszámítása: rendelkezik 2 (+/+) lókusszal, (amelyek 4-4 nappal hosszabbítják meg a tenyészidőt) és 2 heterozigóta lókusszal. h=0 esetén 60+(2*4)+(2*2)=72, h=0.5d esetén 60+(2*4)+(2*1)=70, és h=1.5d esetén 60+(2*4)+(2*3)=74.

3.) Két eltérő magasságú búzafajta (P₁  = 100 cm, P₂ = 80 cm) keresztezéséből kapott F₁ magassága 95 cm. A magasabb szülővel (P₁ ) három alkalommal visszakeresztezést végzünk. Milyen magasak lesznek a visszakeresztezett nemzedékek?

Először határozzuk meg az átlag genetikai komponenseit:

m = (100+80)/2 = 90

[d] = (100-80)/2 = 10

[h] = 95-90 = 5

A  három nemzedék átlaga:

 m + ½[d] + ½[h] = 90 + (10/2) + (5/2) = 97.5

 = 90 + {1-(½)²}* 10 + (½)² * 5 = 98.75

 =  90 + {1-(½)³}* 10 + (½)³ * 5  = 99.375

4.) Igaz-e a feltételezés, hogy a táblázatban szereplő  átlagok alapján a példában szereplő tulajdonság egyszerű additiv-domináns módon öröklődik?

A rendelkezésre álló nemzedékekből az  A típusú lépték próba végezhető el:

A = 2-  -  = 2*76 – 64 – 80 = 8

= 6.54

A t-próba szabadságfoka: 3*99=297

t_[297] = (8-0)/6.54 = 1.22

Mivel a t-próba nem szignifikáns - a táblázati t-érték (1.96) nagyobb a számítottnál – így igazoltnak tekinthető az a feltételezés, hogy a tulajdonság öröklődésében csak a gének additív- és dominancia hatásai játszanak szerepet.

5.) A táblázatban szereplő hat nemzedék átlagaiból végzett lépték próbák szerint az additív-domináns modell nem volt illeszthető. Többféle skálát kipróbálva, a lépték próbák a transzformált adatokkal is szignifikánsak maradtak. Nagy a valószínűsége annak, hogy nem-alléles gén kölcsönhatással állunk szemben. Számítsuk ki a fő- és kölcsönhatás paramétereket, és következtessünk a digénes episztázis típusára.

 = ½+ ½+ 4- 2- 2= ½(64.82)+½(53.07)+4(58.83)-2(63.1)-2(59.55) = 48.89

SE_m hibaszórás számítása:

SE_m = = = 3.733

A becsült paraméter 0-tól való eltérésének megbízhatóságát (a becsült érték szignifikanciáját) egymintás t-próbával ellenőrizzük:

t_[155] = (48.89-0)/3.733 = 13.09 nagyobb mint a táblázati kritikus t-érték, azaz a becsült paraméter szignifikáns. A biometriában a becsült paraméterek szignifikanciáját, az elért valószínűségi szintet a paraméter után, jobb felső indexbe helyezett csillagok (*) számával szokás jelölni. Megegyezés szerint * = P_0.05, ** = P_0.01, *** = P_0.001, ha nincs egyetlen csillag sem, akkor a becsült paraméter nem szignifikáns. Ezt alkalmazva m = 48.89^***, ami azt jelenti, hogy a becsült  m homozigóta közép legalább P=0.001 valószínűségi szinten szignifikáns.

 [d] = ½- ½ = ½(64.82)-½(53.07) = 5.87^***

[h] = 6+ 6- 8-  - 1½- 1½= 6(63.15)+6(59.55)-8(58.83)-55.10-1.5(64.82)-1.5(53.07) = 33.57^***

[i] = 2+ 2- 4= 2(63.15)+2(59.55)-4(58.83) = 10.06^***

[j] = 2-  - 2+  = 2(63.15)-64.82-2(59.55)+53.07 = -4.55

[l] =  +  + 2+ 4- 4- 4= 64.82+53.07+2(55.10)+4(58.83)-4(63.15-4(59.55) = -27.36

A becsült paraméterek alapján levonható következtetések: a tulajdonság öröklődésében a poligének additív- és dominancia hatásai egyaránt jelentősek.

Mivel [h] előjele pozitív, a lókuszok döntő hányadában a fokozó hatású allélek a dominánsak. A digénes episztázis paraméterei közül csak az [i] szignifikáns, azaz csak a gének additív hatásai közti kölcsönhatások számottevőek. [h] és [l] előjelei különbözőek,  a kimutatott nem-alléles gén kölcsönhatás nagy valószínűséggel komplementer típusú.

Effektiv faktorok száma

1.) Két homozigóta vonal keresztezéséből származó F₂-ben négy poligén hasad. A populáció hány százaléka hordoz 3 fokozó hatású allélt?

A hasadó gének számát k-val, a fokozó hatású allélek számát j-vel jelölve:

P₃ =  * = , tehát a populáció 22 százaléka hordoz 3 fokozó hatású allélt.

2.) Egy F₂ populációban a növénymagasság alábbi megoszlását kaptuk, a fenotípusos megoszlás alapján hány gén hasadása valószínűsíthető:

a hasadó génszám és a fenotípus kategóriák száma közötti összefüggés 2n+1 = x, ahol  n a gének és x a kategóriák száma.

A példában a kategóriák száma 11, tehát 2n+1 = 11, amiből n=5, azaz valószínűleg 5 gén hasad.

A feltételezést ellenőrizzük le statisztikai próbával is!

Ehhez először meghatározzuk az 5 gén hasadása esetére az elméleti gyakoriságokat. A táblázat harmadik oszlopában szereplő gyakoriságokat a  összefüggéssel számítottuk.    Ezzel megkaptuk az 5 génes hasadás megoszlását a minimális populációméretre (1024), amit a valós populációméretre (2023) kell átszámítani (a valós és az elméleti populációméret hányadosával történő szorzással). Az eredményt a táblázat 4. oszlopa tartalmazza. Továbbiakban a két megoszlás egyezőségét ellenőrizzük χ² próbával. Ehhez a két megoszlás különbségét négyzetre emeljük, osztjuk az elméleti gyakorisággal, és a kapott eltérésnégyzeteket összegezzük. A számított χ² összeget (12.9) hasonlítjuk 11-2=9 szabadság-foknál a kritikus táblázati értékhez. Mivel számított χ² értékünk kisebb mint a P=0.05 valószínűségi szinthez tartozó kritikus érték (16.92), tehát a két megoszlás nem tér el egymástól statisztikailag igazolhatóan, azaz elfogadjuk a feltételezett 5 génes hasadást.

ÖRÖKÖLHETŐSÉG

1.) Becslése varianciakomponensekből

a.) Véletlen Blokk Elrendezésű kísérlet egy környezetben, 2 ismétléssel

egy keresztezésből származó 48 db homozigóta vonal 

σ²_e = MQ_hiba = 8.70

σ²_g = (MQ_genotípus – MQ_hiba)/ismétlésszám = 10.41

σ²_p = σ²_e + σ²_g = 19.11

h² = σ²_g/ σ²_p = 0,54

b.) Ugyanaz mint (a) alatt, de két évben megismételve

ismétlések száma: r, környezetek száma: t

σ²_e = M₃ = 11,65

σ²_ge = (M₂-M₃)/r = 3.17

σ²_g = (M₁-M₂)/rt = 3,22

σ²_p = σ²_e + σ²_ge + σ²_g = 18,04

h² = σ²_g/ σ²_p = 0,17

Példa diallél keresztezés kiértékelésére

Hipotézis:

¨     diploid hasadás

¨     nincsenek a reciprokok között különbségek

¨     a nem-allél gének egymástól függetlenül hatnak

¨     nincs többszörös allélia

¨     a szülők homozigóták

¨        a gének egymástól függetlenül oszlanak meg a szülők között

Þ   Alapadatok véletlen blokk elrendezésű kisérletben

pl: 5 szülő + 10 kombináció, 4 ismétlésben

Alapadatok variancia-analizise:

         Következtetés: a kezelések között statisztikailag igazolható különbségek vannak, tehát folytatható az elemzés

Þ           Diallél-táblázat,  sorösszegek, sorátlagok, (V_r) és (W_r) számitása

Þ  A modell megfelelőségének ellenőrzése:

¨     W_r/V_r regressziós egyenes

b_Wr,_Vr = 1.112  SE_b = 0.063

a 0-tól való eltérés próbája:           (1.112-0)/0.063 = 17.7

szignifikáns, mert a táblázati t5%  FG (p-2) : 3-nál  3.18

Következtetés: a sorok varianciái és kovarianciái között igazolt összefüggés van

1-től való eltérés próbája:           (1.112-1)/0.063=1.77 nem szignifikáns, mert a táblázati 't'  FG 3 nagyobb

Következtetés: a diallélban nincsenek kimutatható torzitó hatású nem-alléles kölcsönhatások

¨     (W_r-V_r) különbségek homogenitása

(Wr-Vr) különbségek ismétlésenként

                 A (Wr-Vr) különbségek szórásnégyzet-elemzése:

Következtetés: a nem szignifikáns sorok közötti (Wr-Vr) különbség is azt jelzi, hogy a diallélban nincsenek kimutatható torzitó hatású nem-alléles kölcsönhatások

Þ   Statisztikák becslése:

            V_0L0   (V_p)  =                              20.861

            V_0L2   (V_r)  =                                 4.501

            V_1L2   (V_r)  =                                 4.790

            W_0L02  (W_r)  =                               9.678

            M_L2          =                                11.61

            M_L0          =                                11.81

Þ   Varianciakomponensek számitása

D   =                   20.73 ± 0.166 ***

F   =                     2.85 ± 0.754 ***

H₁  =                    4.79 ± 1.794 **

H₂  =                     2.98 ± 1.624 n.s.

h²  =                     8.37 ± 1.098 ***

E   =                     0.12 ± 0.067 n.s.

varianciakomponesek statisztikai próbája:

[ D/SE(_D) ] hasonlítva táblázati "t" értékhez

Þ   Egyéb paraméterek becslése:

¨     dominancia átlagos foka:

  = 0.24

¨     + és - hatású gének aránya a szülőkben:

H₂/4H₁                             = 0.155

¨     dominancia iránya:

r_(Wr+Vr,Yr)                           = 0.357 n.s.

¨    domináns és recessziv gének aránya a szülőkben:

  = 1.01

¨     dominanciát mutató lókuszok száma:

h²/H²                                = 2.8

Þ   Wr/Vr grafikonból:

¨     szülők dominanciasorrendje

¨     dominancia mértéke

¨     szelekciós előrehaladás becslése